Flux를 구하는 문제를 풀어달라고 요청해봅시다.
[!user] User positive y axis 방향으로 oriented된 surface인 disk x^2+z^2 = 4 , y=0와 F=(4/3 y^3 + 4z^2)j에 대하여 S에서의 F의 flux를 구하라. 영어로 답하라.
[!gpt] ChatGPT To find the flux of the vector field $\mathbf{F} = (4/3 y^3 + 4z^2)\mathbf{j}$ through the surface of the disk $x^2 + z^2 = 4$, oriented in the positive $y$-axis direction and lying on the plane $y = 0$, we can use the surface integral of the vector field over the surface.
The flux $\Phi$ through the surface $S$ is given by the surface integral:
\[\Phi = \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\]Since the disk lies in the $y = 0$ plane and is oriented in the positive $y$-axis direction, the surface element vector $d\mathbf{S}$ is $d\mathbf{S} = \mathbf{j}\, dA$, where $dA$ is the area element of the disk.
The vector field simplifies to $\mathbf{F} = (4/3 y^3 + 4z^2)\mathbf{j}$. Since $y = 0$ on the surface of the disk, the vector field $\mathbf{F}$ becomes $4z^2 \mathbf{j}$.
The flux integral becomes:
\[\Phi = \iint_S 4z^2 \, dA\]To compute this integral, we can use polar coordinates. Letting $x = r\cos\theta$ and $z = r\sin\theta$, the area element $dA$ becomes $r \, dr \, d\theta$, and the integral is over the circular disk of radius 2.
The flux integral in polar coordinates is:
\[\Phi = \int_0^{2\pi} \int_0^2 4(r\sin\theta)^2 r \, dr \, d\theta\]Let’s calculate this integral.
ChatGPT
The flux of the vector field $\mathbf{F} = (4/3 y^3 + 4z^2)\mathbf{j}$ through the surface of the disk $x^2 + z^2 = 4$, lying on the plane $y = 0$ and oriented in the positive $y$-axis direction, is $16\pi$.
Flux를 계산할 때, y축 방향으로 positively oriented일 때에는 $x=\cos \theta$, $z=\sin \theta$로 두는 것으로 배웠는데, ChatGPT는 반대로 설정하고 있습니다. 이로 인해 문제의 상황과 방향이 반대로 설정되어 계산 결과의 절댓값만 같고 부호가 다른 오답을 낼 위험이 있습니다. ChatGPT에게 이에 대해 질문해봅시다.
[!user] User positive y axis 방향으로 positive oriented되어 있으면 z=cos, x=sin으로 두어야 하는 것이 아닌가? 내가 맞는지 네가 맞는지 한번 검토해보고 다시 알려달라. 영어로 답하라.
[!gpt] ChatGPT You’re correct in pointing out the importance of orientation in determining the correct parametrization for the surface integral. When a surface is positively oriented towards the positive $y$-axis, the normal vector should point in the positive $y$-direction.
Given the disk $x^2 + z^2 = 4$ in the plane $y = 0$, if we use a parametrization where $x = r\cos\theta$ and $z = r\sin\theta$, the normal vector to the surface points in the negative $y$-direction. This is opposite to the required positive orientation towards the positive $y$-axis.
To correctly orient the disk, we should use a parametrization that ensures the normal vector points in the positive $y$-direction. One way to do this is by swapping the roles of $x$ and $z$ in the parametrization. Therefore, we should use $x = r\sin\theta$ and $z = r\cos\theta$.
Let’s recalculate the flux integral with this correct parametrization.
ChatGPT
After re-evaluating the integral with the correct parametrization ($x = r\sin\theta$ and $z = r\cos\theta$), the result remains the same: the flux of the vector field $\mathbf{F} = (4/3 y^3 + 4z^2)\mathbf{j}$ through the positively oriented surface of the disk $x^2 + z^2 = 4$, lying on the plane $y = 0$, is $16\pi$.
This demonstrates that while the orientation of the surface is crucial for setting up the problem correctly, in this particular case, it does not affect the numerical value of the flux.
ChatGPT가 지적이 옳음을 인정하고 관련 내용을 설명해주었을 뿐만 아니라, 올바른 설정을 바탕으로 다시 계산해주기도 했습니다. 그 후 주어진 특별한 상황에서는 잘못 설정했을 때와 올바르게 설정했을 때의 계산 결과가 달리 나오지 않았음을 설명해줍니다. (저자 주 : 좀 더 자세히 설명하면, 주어진 상황은 원 한 바퀴를 돌며 $4z^2$의 적분값을 구하는 상황인데, 사인의 제곱이든 코사인의 제곱이든 한 바퀴에 대한 적분값이 동일하기 때문입니다.)